Constante de Euler-Mascheroni
La constante de Euler-Mascheroni (también conocida como constante de Euler) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números, y se denota con la letra griega minúscula γ (Gamma).
Se define como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural:
Su valor aproximado es:
A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.
Otros interesantes límite relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)
Se define como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural:
Historia
La constante apareció por primera vez en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizo Leonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A. Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.[1]Propiedades
El número γ no se ha probado que sea algebraico o transcendente, de hecho, ni siquiera se conoce si γ es irracional o no[2] . El análisis de fracciones continuas revela, que de ser racional, su denominador debe ser muy elevado ( actualmente del orden de 10242080).[3] Debido a que está presente en un gran número de ecuaciones y relaciones, la racionalidad o irracionalidad de γ está entre los problemas abiertos más importantes de matemáticas.A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.
Representación original (Euler)
Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:Relación con la función Gamma
Si tomamos la función gamma, la derivamos y evaluamos en 1, obtenemos -γ. Lo mismo pasa si evaluamos la función digamma en 1, o sea:Relación con la función Zeta de Riemann
γ se puede expresar como suma infinita, cuyos términos invocan la función zeta de Riemann para números positivos de la siguiente forma:Otros interesantes límite relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)